Accueil › Cours de maths 3e › Puissances

Puissances

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 6 · Les puissances d'un nombre relatif · Les puissances de 10 · L'écriture scientifique

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

Ouvrir le chapitre interactif

menu_book Le cours

Les puissances d'un nombre relatif

Avec un exposant positif

Définition

Pour tout nombre entier positif non nul n et tout nombre relatif a :

a^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}

et, par convention,

a^{0} = 1

(pour a ≠ 0).

a^{n}

(lu « a puissance n ») est la puissance n-ième de a ; n est l'exposant.

Exemples :

$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ ; $7^{1} = 7$ ; $7^{0} = 1$ .
$(- 4)^{3} = (- 4) \times (- 4) \times (- 4) = - 64$ (3 facteurs négatifs : résultat négatif) et $(- 1)^{10} = 1$ (10 facteurs négatifs : résultat positif).

Remarque :

a^{1} = a

. Attention aux parenthèses :

(- 3)^{2} = 9

mais

- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9

Avec un exposant négatif

Définition

Pour tout nombre entier positif non nul n et tout nombre relatif non nul a :

a^{- n} = \frac{1}{\underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}} = \frac{1}{a^{n}}

Remarque :

a^{- 1} = \frac{1}{a}

est l'inverse de a. Par exemple,

4^{- 1} = \frac{1}{4} = 0, 25

Exemples :

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0, 125$
$(- 5)^{- 2} = \frac{1}{(- 5)^{2}} = \frac{1}{25} = 0, 04$

Les puissances dans un calcul

Propriété

En l'absence de parenthèses, le calcul de la puissance est prioritaire sur les autres opérations.

Exemples :

A = 2 + 5 \times 2^{3}

La puissance, puis la multiplication, puis l'addition.

A = 2 + 5 \times 8

A = 2 + 40

A = 42

B = (2 + 5)^{2}

Avec des parenthèses, on calcule d'abord leur contenu.

B = 7^{2}

B = 49

Les puissances de 10

Définitions

Définition 1

Pour tout nombre entier positif non nul n :

1 0^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{10 \times 10 \times \dots \times 10}} = 1 \underset{n z \overset{ˊ}{e} ros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}}

et, par convention,

1 0^{0} = 1

Définition 2

Pour tout nombre entier positif non nul n :

1 0^{- n} = \frac{1}{1 0^{n}} = 0, \underset{n z \overset{ˊ}{e} ros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} ⁣ 1

(le 1 est au n-ième rang après la virgule).

Exemples : $1 0^{7} = 10 000 000$ (7 zéros) et $1 0^{- 5} = 0, 000 01$ (le 1 au 5e rang après la virgule).

Les préfixes

Définition

Ces préfixes, placés devant une unité, désignent des multiples de puissances de 10 :

Téra	Giga	Méga	Kilo	Hecto	Déca	Déci	Centi	Milli	Micro	Nano	Pico
$\times 1 0^{12}$	$\times 1 0^{9}$	$\times 1 0^{6}$	$\times 1 0^{3}$	$\times 1 0^{2}$	$\times 1 0^{1}$	$\times 1 0^{- 1}$	$\times 1 0^{- 2}$	$\times 1 0^{- 3}$	$\times 1 0^{- 6}$	$\times 1 0^{- 9}$	$\times 1 0^{- 12}$

Exemples : 1 mégaoctet = $1 0^{6}$ octets ; 1 microseconde = $1 0^{- 6}$ seconde ; 1 centilitre = $1 0^{- 2}$ litre.

Calculer avec des puissances de 10

Propriétés

Pour tous nombres entiers relatifs m et p :

1 0^{m} \times 1 0^{p} = 1 0^{m + p}

\frac{1 0^{m}}{1 0^{p}} = 1 0^{m - p}

Exemples :

C = 1 0^{6} \times 1 0^{- 2}

On additionne les exposants.

C = 1 0^{6 + (- 2)}

C = 1 0^{4}

C = 10 000

D = \frac{1 0^{- 3}}{1 0^{5}}

On soustrait les exposants.

D = 1 0^{- 3 - 5}

D = 1 0^{- 8}

L'écriture scientifique

Multiplier par une puissance de 10

Propriétés

Multiplier un nombre par $1 0^{n}$ revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète par des zéros si nécessaire).
Multiplier un nombre par $1 0^{- n}$ revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète par des zéros si nécessaire).

Exemples : $45, 17 \times 1 0^{3} = 45 170$ et $6, 2 \times 1 0^{- 4} = 0, 000 62$ .

L'écriture scientifique d'un nombre

Définition

Tout nombre décimal non nul peut être écrit en notation scientifique, c'est-à-dire sous la forme

a \times 1 0^{n}

où :

a, appelé mantisse, est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule ;
n est un nombre entier relatif.

Exemples :

Population mondiale (2024) : environ 8 100 000 000 habitants = $8, 1 \times 1 0^{9}$ habitants.
Distance Terre – Lune : 384 400 km = $3, 844 \times 1 0^{5}$ km.
Diamètre d'un globule rouge : 0,000 007 m = $7 \times 1 0^{- 6}$ m.
Masse d'un grain de sable : environ 0,000 000 67 kg = $6, 7 \times 1 0^{- 7}$ kg.

Attention :

34, 5 \times 1 0^{- 2}

n'est pas une écriture scientifique (deux chiffres avant la virgule). Comme

34, 5 = 3, 45 \times 1 0^{1}

, on écrit

34, 5 \times 1 0^{- 2} = 3, 45 \times 1 0^{- 1}

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : la machine à puissances

(- 2)^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8

3 facteurs négatifs : nombre impair, le résultat est négatif.

Méthode 2 : un calcul type brevet avec des puissances de 10

E = \frac{6 \times 4}{3} \times \frac{1 0^{5} \times 1 0^{- 8}}{1 0^{- 2}}

On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre.

Méthode 3 : trouver l'écriture scientifique d'un nombre

4,8

Méthode 4 : de l'atome à l'Univers

Un élève de 3e

≈ 1,6 m

10⁻¹⁰ m1 m10²⁶ m

Exposant de 10 : 0 — par rapport à l'objet précédent, l'exposant a augmenté de 2.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Donner l'écriture scientifique d'un calcul »

F = \frac{3 \times 1 0^{5} \times 8 \times 1 0^{- 2}}{6 \times 1 0^{4}}

Le calcul à effectuer.

F = \frac{3 \times 8}{6} \times \frac{1 0^{5} \times 1 0^{- 2}}{1 0^{4}}

1. On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre.

F = 4 \times 1 0^{5 + (- 2) - 4} = 4 \times 1 0^{- 1}

2. On calcule chaque partie avec les règles sur les exposants.

F = 4 \times 1 0^{- 1} = 0, 4

3. On vérifie que la mantisse n'a qu'un chiffre non nul avant la virgule.

Exercices

Exercice 1

Calcule :

3^{3}

;

(- 2)^{6}

;

(- 2)^{7}

;

- 2^{6}

;

9^{0}

;

0, 1^{3}

Exercice 2

Écris sous forme d'une fraction, puis d'un nombre décimal :

2^{- 4}

;

5^{- 1}

;

(- 2)^{- 3}

;

1 0^{- 3}

Exercice 3

Calcule en respectant les priorités :

A = 4 - 3 \times 2^{2}

;

B = (4 - 3) \times 2^{2}

;

C = 1 + 2 \times 1 0^{3}

Exercice 4

Écris sous la forme d'une seule puissance de 10 :

1 0^{4} \times 1 0^{7}

;

1 0^{- 3} \times 1 0^{5}

;

\frac{1 0^{8}}{1 0^{3}}

;

\frac{1 0^{2}}{1 0^{- 6}}

Exercice 5

Convertis à l'aide des préfixes : a) 3 Go (gigaoctets) en octets ; b) 250 nm (nanomètres) en mètres, en écriture scientifique ; c) 5 ms (millisecondes) en secondes.

Exercice 6

Donne l'écriture scientifique de : 725 000 ; 0,000 48 ;

58, 3 \times 1 0^{4}

;

0, 07 \times 1 0^{- 3}

Exercice 7

Donne l'écriture scientifique de

G = \frac{2 \times 1 0^{- 3} \times 9 \times 1 0^{7}}{1, 2 \times 1 0^{2}}

Exercice 8

La lumière se déplace à environ

3 \times 1 0^{5}

km/s. La distance entre la Terre et le Soleil est d'environ

1, 5 \times 1 0^{8}

km. Combien de temps met la lumière du Soleil pour nous parvenir ?

Exercice 9

Range dans l'ordre croissant :

2, 3 \times 1 0^{8}

;

9, 8 \times 1 0^{7}

;

1, 05 \times 1 0^{8}

;

4 \times 1 0^{- 2}

history_edu Un peu d'histoire

En 1977, les designers américains Charles et Ray Eames réalisent un court film resté célèbre, Powers of Ten (« Puissances de dix ») : la caméra part d'un couple pique-niquant dans un parc, vu d'un mètre de haut, puis s'éloigne en multipliant la distance par 10 toutes les 10 secondes… jusqu'aux confins de l'Univers visible (

1 0^{24}

m). Puis elle revient et plonge dans la main d'un des personnages, jusqu'à l'intérieur d'un atome (

1 0^{- 16}

m). En quelques minutes, on traverse 40 puissances de 10 ! Les scientifiques manipulent tous les jours de tels nombres : le nombre d'atomes dans 12 g de carbone, le « nombre d'Avogadro », vaut environ

6, 022 \times 1 0^{23}

. Sans l'écriture scientifique, il faudrait l'écrire avec 24 chiffres ! (Le zoom de l'onglet Méthode s'inspire de ce film.)

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz