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Équations

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 11 · L'équation du premier degré · L'équation produit · L'équation x² = a · Résoudre un problème

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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L'équation du premier degré

Définitions

Résoudre une équation à une inconnue, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'égalité. Ces valeurs sont les solutions de l'équation.

Propriétés

Une égalité reste vraie si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres.
Une égalité reste vraie si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre non nul.

Autrement dit, pour tous nombres a, b et k :

si $a = b$ alors $a + k = b + k$ et $a - k = b - k$ ;
si $a = b$ alors $a \times k = b \times k$ et $\frac{a}{k} = \frac{b}{k}$ (avec k ≠ 0).

Exemple : résoudre l'équation $5 x + 2 = 2 x + 14$ .

5 x + 2 - 2 x = 2 x + 14 - 2 x

On élimine les termes en x du membre de droite en soustrayant 2x aux deux membres.

3 x + 2 = 14

3 x + 2 - 2 = 14 - 2

On isole le terme en x dans le membre de gauche en soustrayant 2 aux deux membres.

3 x = 12

\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}

On détermine x en divisant les deux membres par 3.

x = 4

La solution de l'équation est 4. Vérification : pour x = 4, $5 \times 4 + 2 = 22$ et $2 \times 4 + 14 = 22$ : l'égalité est bien vraie.

Remarque : résoudre une équation, c'est comme manipuler une balance en équilibre : on fait les mêmes opérations sur les deux plateaux pour qu'elle reste en équilibre (animation dans l'onglet Méthode).

L'équation produit

Propriété

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Autrement dit : si

A \times B = 0

alors

A = 0

B = 0

Exemple : résoudre l'équation $(x - 4) (2 x + 5) = 0$ .

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.On cite la propriété.

x - 4 = 0

2 x + 5 = 0

On résout deux équations du premier degré.

x = 4

2 x = - 5

, soit

x = - 2, 5

Les solutions sont 4 et −2,5. Vérification : pour x = 4, $(4 - 4) (2 \times 4 + 5) = 0 \times 13 = 0$ ; pour x = −2,5, $(- 2, 5 - 4) (2 \times (- 2, 5) + 5) = (- 6, 5) \times 0 = 0$ .

L'équation x² = a

Propriétés

Pour tout nombre a :

si a < 0 alors l'équation $x^{2} = a$ n'a pas de solution ;
si a = 0 alors l'équation $x^{2} = 0$ a une seule solution : 0 ;
si a > 0 alors l'équation $x^{2} = a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $- \sqrt{a}$ .

Preuve :

Un carré est toujours positif (ou nul) : si a < 0, aucun nombre n'a pour carré a.
Si a > 0 : $x^{2} = a$ revient à $x^{2} - a = 0$ , soit $x^{2} - (\sqrt{a})^{2} = 0$ , c'est-à-dire $(x + \sqrt{a}) (x - \sqrt{a}) = 0$ (différence de deux carrés). C'est une équation produit : $x = - \sqrt{a}$ ou $x = \sqrt{a}$ .

Exemples :

$x^{2} = - 3$ n'a pas de solution, car −3 < 0.
$x^{2} = 7$ a deux solutions : $\sqrt{7}$ et $- \sqrt{7}$ (environ 2,65 et −2,65).
$x^{2} = 49$ a deux solutions : $\sqrt{49}$ et $- \sqrt{49}$ , soit 7 et −7.

Résoudre un problème

Règle

Pour résoudre un problème à l'aide d'une équation, on suit les étapes suivantes :

choix de l'inconnue ;
mise en équation ;
résolution de l'équation ;
vérification ;
conclusion (une phrase qui répond à la question).

Exemple : un père a 41 ans et son fils 9 ans. Dans combien d'années le père aura-t-il le triple de l'âge de son fils ?

a. Soit x le nombre d'années cherché.Choix de l'inconnue.

41 + x = 3 \times (9 + x)

Dans x années, le père aura 41 + x ans et le fils 9 + x ans.

41 + x = 27 + 3 x

, donc

14 = 2 x

, soit

x = 7

Résolution.

d. Dans 7 ans, le père aura 48 ans et le fils 16 ans ; et 3 × 16 = 48.Vérification.

e. Dans 7 ans, le père aura le triple de l'âge de son fils.Conclusion.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : résoudre avec une balance

5 x + 2 = 2 x + 14

La balance est en équilibre : 5 sacs et 2 cubes à gauche, 2 sacs et 14 cubes à droite.

Méthode 2 : résoudre une équation produit

(x + ) (x + ) = 0

(3 x - 12) (x + 5) = 0

L'équation produit.

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.On cite la propriété.

3 x - 12 = 0

x + 5 = 0

Deux équations du premier degré.

x = 4

x = - 5

On résout chacune.

Les solutions sont

4

- 5

.Conclusion.

Méthode 3 : combien de solutions pour x² = a ?

Deux points :

x^{2} = 7

a deux solutions,

\sqrt{7}

- \sqrt{7}

(environ 2,65 et −2,65).

Méthode 4 : mettre un problème en équation

a. Soit x le plus petit des trois nombres.

Choix de l'inconnue : les deux autres sont alors x + 1 et x + 2.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Résoudre une équation produit »

(x + 6) (3 x - 12) = 0

L'équation à résoudre.

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.1. On cite la propriété.

x + 6 = 0

3 x - 12 = 0

2. Chaque facteur peut être nul.

x = - 6

x = 4

3. On résout les deux équations.

Les solutions sont −6 et 4.4. On conclut.

Exercices

Exercice 1

Résous :

3 x - 7 = 11

;

8 x + 3 = 5 x - 9

;

2 (x + 5) = 3 x - 1

Exercice 2

Résous :

\frac{x}{4} + 3 = 5

7 - 2 x = 3 x + 22

Exercice 3

Résous les équations produits :

(x + 6) (x - 1) = 0

;

(3 x - 12) (5 + x) = 0

;

x (2 x - 7) = 0

Exercice 4

Résous :

x^{2} = 81

;

x^{2} = 11

;

x^{2} + 4 = 0

;

2 x^{2} = 50

Exercice 5

Factorise

x^{2} - 25

, puis résous l'équation

x^{2} - 25 = 0

Exercice 6

Un carré a une aire de 50 cm². Quelle est la longueur de son côté (valeur exacte, puis arrondie au millimètre) ?

Exercice 7

Au cinéma, 3 places adulte et 2 places enfant coûtent 47 €. Une place enfant coûte 4 € de moins qu'une place adulte. Quel est le prix de chaque place ?

Exercice 8

Programme A : « choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 5 ». Programme B : « choisir un nombre, ajouter 7, multiplier par 2 ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?

Exercice 9

Résous l'équation de l'épitaphe de Diophante (rubrique « Un peu d'histoire ») :

\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x

history_edu Un peu d'histoire

Selon une célèbre énigme grecque de l'Anthologie palatine, voici l'épitaphe du mathématicien Diophante d'Alexandrie (3e siècle), considéré comme l'un des pères de l'algèbre : « Passant, ici repose Diophante. Son enfance dura le sixième de sa vie ; au bout d'un douzième de plus, sa barbe poussa ; après un septième encore, il se maria. Cinq ans plus tard naquit son fils, qui vécut moitié moins que son père. Diophante mourut quatre ans après son fils. » Si x est l'âge de Diophante à sa mort, on obtient l'équation

\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x

, dont la solution est 84. À vous de vérifier ! Dans son ouvrage, les Arithmétiques, Diophante utilise déjà une abréviation pour désigner l'inconnue : c'est l'une des premières traces de notation algébrique.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz