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Nombres et calculs

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 1 · Résoudre un problème · Les outils de calcul · Contrôler un résultat

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Ce chapitre de rentrée ne contient pas de notion nouvelle : il rassemble les outils de calcul vus de la 6e à la 4e, et la façon de s'en servir pour résoudre des problèmes, comme au brevet. Pour revoir une notion en détail, retrouvez le chapitre correspondant de 4e.

Résoudre un problème

Une démarche en quatre temps

Méthode

Lire et trier : repérer la question posée et les données utiles (dans le texte, un tableau, un schéma). Certaines données ne servent à rien !
Chercher un chemin : découper le problème en étapes (« pour trouver ceci, il me faut d'abord cela »).
Calculer en rédigeant : pour chaque étape, un titre (« Aire du terrain : »), le calcul nommé écrit en colonne (A = …), puis une phrase de conclusion avec l'unité.
Contrôler et conclure : le résultat est-il vraisemblable (ordre de grandeur, arrondi adapté) ? On répond par une phrase.

Exemple :

Un jardin partagé rectangulaire mesure 48 m sur 25 m. On y installe une cabane sur un carré de 12 m de côté ; le reste est semé d'engrais vert. Un sachet de graines couvre 40 m² et coûte 6,50 €. Combien coûtent les graines ?

Rédaction détaillée : un titre, le calcul, une phrase.

Aire du terrain :

A	=	$48 \times 25$
A	=	$1 200$

Le terrain a une aire de 1 200 m².

Aire de la cabane :

C	=	$12 \times 12$
C	=	$144$

La cabane occupe 144 m².

Surface à semer :

S	=	$A - C$
S	=	$1 200 - 144$
S	=	$1 056$

Il reste 1 056 m² à semer.

Nombre de sachets :

N	=	$1 056 \div 40$
N	=	$26, 4$

26 sachets ne suffisent pas : il faut acheter 27 sachets.

Coût des graines :

P	=	$27 \times 6, 50$
P	=	$175, 50$

Les graines coûtent 175,50 €.

Rédaction plus courte : on regroupe les calculs d'aires en un seul.

Surface à semer :

S	=	$48 \times 25 - 12 \times 12$
S	=	$1 200 - 144$
S	=	$1 056$

Il reste 1 056 m² à semer.

Nombre de sachets :

N	=	$1 056 \div 40$
N	=	$26, 4$

Il faut acheter 27 sachets (26 ne suffisent pas).

Coût des graines :

P	=	$27 \times 6, 50$
P	=	$175, 50$

Les graines coûtent 175,50 €.

Attention : on ne peut pas tout écrire en une seule formule ici.

(48 \times 25 - 12 \times 12) \div 40 \times 6, 50

donne 171,60 €, le prix de 26,4 sachets ; or on n'achète que des sachets entiers. Contrôle : environ 1 000 m², soit 25 sachets à 7 € : environ 175 €. Le résultat est cohérent.

Vrai ou faux : justifier une affirmation

Propriétés

Pour montrer qu'une affirmation générale (« toujours », « pour tout nombre ») est fausse, un seul contre-exemple suffit.
Pour montrer qu'elle est vraie, un ou plusieurs exemples ne suffisent pas : il faut un calcul ou un raisonnement valable dans tous les cas (souvent avec une lettre).
Si l'affirmation porte sur un cas précis (un calcul, une situation), on fait le calcul et on compare.

Exemple 1 : « 12 − 3 × 4 + 2 = 38 ».

C = 12 - 3 \times 4 + 2

La multiplication est prioritaire.

C = 12 - 12 + 2

C = 2

Et non 38, qu'on obtient en calculant 12 − 3 d'abord.

L'affirmation est fausse.On conclut.

Exemple 2 : « Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre ».

Faux. Contre-exemple : 0,5² = 0,25 et 0,25 < 0,5.

Exemple 3 : « La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3 ».

On note n le plus petit des trois nombres : les suivants sont n + 1 et n + 2.Une lettre représente n'importe quel entier.

S = n + (n + 1) + (n + 2)

S = 3 n + 3

On réduit.

S = 3 (n + 1)

On factorise par 3.

S est un multiple de 3 : l'affirmation est vraie.Vérifier sur 4 + 5 + 6 = 15 illustre, mais ne prouve pas.

Les outils de calcul

Les priorités opératoires

Rappel

On effectue dans l'ordre : les calculs entre parenthèses (les plus intérieures d'abord), puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, on calcule de gauche à droite.

Exemple :

D = 5 + 3 × 2² − (7 − 1) ÷ 3On commence par la parenthèse.

D = 5 + 3 × 2² − 6 ÷ 3Puis la puissance.

D = 5 + 3 × 4 − 6 ÷ 3Puis la multiplication et la division.

D = 5 + 12 − 2On termine de gauche à droite.

D = 15

Les fractions

Rappels

Pour additionner ou soustraire, on met les fractions au même dénominateur, puis on ajoute les numérateurs.
Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ .
Diviser par une fraction non nulle, c'est multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ .
Prendre une fraction d'une quantité (ou d'une autre fraction), c'est multiplier.

Exemple 1 :

E = \frac{5}{6} + \frac{3}{4}

Dénominateur commun : 12, un multiple de 6 et de 4.

E = \frac{10}{12} + \frac{9}{12}

E = \frac{19}{12}

Exemple 2 :

F = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}

La multiplication est prioritaire.

F = \frac{5}{3} - \frac{2}{12}

On simplifie 2/12 par 2.

F = \frac{5}{3} - \frac{1}{6}

F = \frac{10}{6} - \frac{1}{6}

Même dénominateur, puis on simplifie par 3.

F = \frac{9}{6}

F = \frac{3}{2}

Exemple 3 :

G = \frac{2}{3} \div \frac{4}{9}

On multiplie par l'inverse de 4/9, puis on simplifie par 6.

G = \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}

G = \frac{18}{12}

G = \frac{3}{2}

Exemple 4 : la fraction d'une fraction.

Dans une association, $\frac{2}{5}$ des membres sont bénévoles, et les $\frac{3}{4}$ des bénévoles sont des femmes. Quelle proportion des membres sont des femmes bénévoles ?

p = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5}

Les 3/4 des 2/5 : on multiplie.

p = \frac{6}{20}

p = \frac{3}{10}

Les femmes bénévoles représentent 3/10 des membres, soit 30 %.On conclut.

Les pourcentages

Rappels

Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{t}{100}$ .
Augmenter de t %, c'est multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de t %, c'est multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ . Ce nombre est le coefficient multiplicateur.
Le pourcentage d'évolution d'une valeur de départ V_D à une valeur d'arrivée V_A est $\frac{V_{A} - V_{D}}{V_{D}} \times 100$ .

Exemples :

35 % de 240 élèves : 0,35 × 240 = 84 élèves.
Un vélo à 85 € augmente de 12 % : 85 × 1,12 = 95,20 €.
Un manteau à 64 € est soldé à −30 % : 64 × 0,7 = 44,80 €.

Exemple : un club passe de 62 500 à 75 000 licenciés. Quelle est l'évolution en pourcentage ?

t = \frac{75 000 - 62 500}{62 500}

On divise l'augmentation par la valeur de départ.

t = \frac{12 500}{62 500}

t = 0, 2

Le nombre de licenciés a augmenté de 20 %.0,2 = 20/100.

Attention : les pourcentages successifs ne s'ajoutent pas. Augmenter de 20 % puis baisser de 20 %, c'est multiplier par 1,2 × 0,8 = 0,96 : on perd 4 %, on ne revient pas au départ (100 → 120 → 96).

Puissances de 10, écriture scientifique et préfixes

Rappels

L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \times 1 0^{n}$ , où $1 ⩽ a < 10$ et n est un entier relatif.
Préfixes : kilo (k) = 10³, méga (M) = 10⁶, giga (G) = 10⁹, téra (T) = 10¹² ; milli (m) = 10⁻³, micro (µ) = 10⁻⁶, nano (n) = 10⁻⁹.
Pour multiplier ou diviser des puissances de 10 : $1 0^{m} \times 1 0^{n} = 1 0^{m + n}$ et $\frac{1 0^{m}}{1 0^{n}} = 1 0^{m - n}$ .

Exemples :

4,2 × 10⁵ = 420 000 et 0,000 37 = 3,7 × 10⁻⁴.
En informatique, 1 ko = 10³ octets, 1 Mo = 10⁶ octets, 1 Go = 10⁹ octets : donc 1 Go = 1 000 Mo.

Exemple : combien de photos de 4 Mo peut-on stocker sur une clé de 64 Go ?

N = \frac{64 \times 1 0^{9}}{4 \times 1 0^{6}}

On convertit en octets, puis 64 ÷ 4 = 16 et 10⁹ ÷ 10⁶ = 10³.

N = 16 \times 1 0^{3}

N = 16 000

On peut stocker 16 000 photos.On conclut.

La racine carrée

Rappel

Pour un nombre a positif, la racine carrée de a, notée

\sqrt{a}

, est le nombre positif dont le carré est égal à a. Un carré d'aire A a pour côté

\sqrt{A}

Exemples :

$\sqrt{49} = 7$ car 7² = 49 ; $\sqrt{1, 44} = 1, 2$ car 1,2² = 1,44.
Un carré d'aire 30 cm² a pour côté $\sqrt{30}$ cm : c'est la valeur exacte. La calculatrice donne $\sqrt{30} \approx 5, 477$ : au millimètre près, le côté mesure 5,5 cm.

Attention :

\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7

, alors que

\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

Comparer et ranger des nombres

Méthode

Pour comparer des nombres écrits de façons différentes (fraction, pourcentage, écriture scientifique, racine carrée), on les écrit tous sous la même forme, le plus souvent en écriture décimale.

Exemple : ranger dans l'ordre croissant 0,63 ; 58 % ; $\frac{5}{8}$ ; 6,1 × 10⁻¹ ; $\sqrt{0, 36}$ .

En écriture décimale : 0,63 ; 0,58 ; 0,625 ; 0,61 ; 0,6.
Ordre croissant : 58 % < $\sqrt{0, 36}$ < 6,1 × 10⁻¹ < $\frac{5}{8}$ < 0,63.

Contrôler un résultat

Arrondir selon la situation

Méthode

Quand le résultat doit être un nombre entier (paquets, pots, bouteilles, bus…), c'est la situation qui décide de l'arrondi : on arrondit au-dessus quand il faut assez de quelque chose (acheter, transporter), au-dessous quand on compte ce qu'on peut remplir complètement.

Exemples :

Il faut 2,3 pots de peinture : on achète 3 pots.
Avec 10 L de jus, on remplit des bouteilles de 0,7 L : 10 ÷ 0,7 ≈ 14,3, donc 14 bouteilles pleines.
215 élèves partent en sortie dans des cars de 50 places : 215 ÷ 50 = 4,3, donc il faut 5 cars.

Estimer un ordre de grandeur

Méthode

Avant ou après un calcul, on remplace les nombres par des valeurs proches et simples pour obtenir un ordre de grandeur du résultat. Il permet de repérer une erreur de virgule, d'unité ou de touche de calculatrice.

Exemple :

49,8 × 21 ≈ 50 × 20 = 1 000. Si la calculatrice affiche 104,58, il y a une erreur : le bon résultat est 1 045,8.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : acheter juste ce qu'il faut (pertes et paquets)

A = 5 \times 4

Aire de la pièce, en m².

A = 20

S = 20 \times 1, 05

Pertes de 5 % : on multiplie par 1 + 5/100 = 1,05.

S = 21

N = 21 \div 1, 12

Nombre de paquets nécessaires.

N = 18, 75

Il faut acheter 19 paquets.On arrondit au-dessus : avec 18 paquets, il manquerait du carrelage.

Méthode 2 : vrai ou faux ? Justifier

« Augmenter un prix de 50 %, puis le baisser de 50 %, le ramène à sa valeur de départ. »

Méthode 3 : deux évolutions successives en pourcentage

c = 1, 2 \times 0, 8

Coefficients : +20 % donne × 1,2, −20 % donne × 0,8. Le coefficient global est leur produit.

c = 0, 96

Évolution globale : baisse de 4 %.1 − c = 0,04, soit 4 %. Et non 0 % : +20 % et −20 % ne se compensent pas, car le 2e pourcentage s'applique à un prix qui a déjà changé.

Méthode 4 : les rebonds d'une balle (une fraction répétée)

h_{1} = 2 \times \frac{3}{4}

Après le 1er rebond : on prend la fraction de la hauteur de départ (en m).

h_{1} = 1, 5

h_{2} = 2 \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4}

Après le 2e rebond : on reprend la fraction de la hauteur précédente.

h_{2} \approx 1, 13

h_{3} = 2 \times {(\frac{3}{4})}^{3}

Après le 3e rebond : la fraction est multipliée trois fois, d'où la puissance 3.

h_{3} = 2 \times \frac{27}{64}

h_{3} \approx 0, 84

Méthode 5 : ranger des nombres écrits de façons différentes

Ranger :

\frac{7}{20}

; 3,6 × 10⁻¹ ; 34 % ;

\sqrt{0, 09}

; 0,351

Cinq nombres écrits sous cinq formes différentes : on ne peut pas les comparer directement.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Répondre par vrai ou faux en justifiant »

Un peintre utilise $\frac{1}{8}$ d'un pot de peinture pour passer une couche sur un volet (les deux faces). Il doit peindre 4 volets, avec 3 couches chacun. Il affirme qu'un seul pot lui suffira.

Nombre de couches à passer : 4 × 3 = 12.On cherche d'abord combien de fois il utilise 1/8 de pot.

Q = 12 \times \frac{1}{8}

Quantité de peinture nécessaire, en pots.

Q = \frac{12}{8}

Q = 1, 5

1,5 > 1 : un pot ne suffit pas. L'affirmation est fausse.On compare, puis on conclut clairement.

Exercices

Exercice 1

Un éleveur dispose d'un pré rectangulaire de 120 m sur 45 m, dans lequel il construit une bergerie de 300 m². Pour obtenir un label, il doit prévoir au moins 1,5 m² par brebis dans la bergerie et au moins 20 m² par brebis à l'extérieur. a) Quelle est l'aire de la partie extérieure ? b) Combien de brebis peut-il élever au maximum ?

Exercice 2

Une terrasse rectangulaire mesure 6 m sur 4,5 m. Le vendeur conseille de commander 8 % de carrelage en plus pour les découpes. Un paquet couvre 1,35 m² et coûte 42 €. a) Quelle surface faut-il commander ? b) Combien de paquets faut-il acheter ? c) Quel est le coût du carrelage ?

Exercice 3

Un terrain de sport est arrosé par 8 circuits de 5 arroseurs. Chaque arroseur a un débit de 0,3 m³ d'eau par heure. L'arrosage se déclenche deux fois par jour, pendant 20 minutes. Combien de litres d'eau sont consommés pendant le mois de juin (30 jours) ? On rappelle que 1 m³ = 1 000 L.

Exercice 4

On lâche une balle d'une hauteur de 2,5 m. À chaque rebond, elle remonte aux

\frac{4}{5}

de la hauteur d'où elle est tombée. Quelle est la hauteur atteinte après le troisième rebond ?

Exercice 5

Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au millimètre près, de la longueur du côté d'un carré d'aire 45 cm².

Exercice 6

Dans un club de tennis,

\frac{1}{6}

des adhérents ont plus de 50 ans et

\frac{2}{5}

ont moins de 18 ans. Quelle proportion des adhérents a entre 18 et 50 ans ?

Exercice 7

Vrai ou faux ? En 2018, un club comptait 1 250 licenciés, et 1 450 en 2024. Le président affirme que le nombre de licenciés a augmenté de 16 %.

Exercice 8

Un disque dur externe contient 2 500 photos de 6 Mo chacune et 40 vidéos de 1,2 Go chacune. Il reste 50 Go d'espace libre sur l'ordinateur. Peut-on y transférer tout le contenu du disque ?

history_edu Un peu d'histoire

La démarche en quatre temps de ce chapitre vient du mathématicien hongrois George Pólya. Dans son livre How to Solve It (1945), traduit en français sous le titre Comment poser et résoudre un problème, il décrit quatre étapes : comprendre le problème, concevoir un plan, mettre le plan à exécution, puis revenir sur la solution pour la vérifier. Vendu à plus d'un million d'exemplaires, ce petit livre est encore utilisé par les enseignants du monde entier.

Le symbole % est lui aussi une histoire de calcul pratique : dans l'Italie marchande du 15e siècle, les commerçants abrégeaient « per cento » (« pour cent ») en « p cento », puis en « p ċ », et l'abréviation s'est peu à peu transformée en un rond, une barre et un rond.

Quant aux préfixes, ils posent encore question en informatique : 1 kilooctet vaut 1 000 octets, mais les ordinateurs comptent volontiers par paquets de 1 024 = 2¹⁰ octets. Pour lever l'ambiguïté, une commission internationale a créé en 1998 le kibioctet (Kio, 1 024 octets), le mébioctet et le gibioctet. C'est pourquoi un disque vendu « 1 To » affiche un peu moins de 1 000 « Go » sur certains ordinateurs.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz