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Arithmétique

Nombres et calculs Cours de mathématiques de 3e (troisième) · chapitre 3 · Multiples et diviseurs · Les critères de divisibilité · Les nombres premiers · La décomposition en produit de facteurs premiers · Rendre une fraction irréductible

Version interactive : dans l'application, les points des figures se déplacent, les figures se construisent pas à pas à la règle et au compas et un quiz s'invente à chaque essai.

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menu_book Le cours

Multiples et diviseurs

Définitions

Soient a et b deux nombres entiers positifs. S'il existe un nombre entier q tel que a = b × q, alors :

a est divisible par b ;
b est un diviseur de a ;
a est un multiple de b.

Exemple : on sait que 2 491 = 47 × 53.

2 491 est divisible par 53 ; 53 est un diviseur de 2 491 ; 2 491 est un multiple de 53.
Et aussi : 2 491 est divisible par 47 ; 47 est un diviseur de 2 491 ; 2 491 est un multiple de 47.

Remarque : « a est divisible par b » veut dire que le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Les critères de divisibilité

Règles

Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités (dans cet ordre) est un multiple de 4.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple : le nombre 36 150 est-il divisible par 2, 5, 10, 4, 3 ou 9 ?

Son chiffre des unités est 0 : 36 150 est divisible par 2, par 5 et par 10.
Le nombre formé par ses deux derniers chiffres est 50, qui n'est pas un multiple de 4 : 36 150 n'est pas divisible par 4.
La somme de ses chiffres est 3 + 6 + 1 + 5 + 0 = 15 : c'est un multiple de 3, mais pas de 9. Donc 36 150 est divisible par 3 mais pas par 9.

Les nombres premiers

Définition

Un nombre entier est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Remarques :

1 n'a qu'un seul diviseur : il n'est pas premier.
2 est le seul nombre premier pair.
41 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 41.
57 n'est pas premier (même s'il en a l'air) : 5 + 7 = 12, il est divisible par 3, et 57 = 3 × 19.

Les nombres premiers inférieurs à 100

Il y en a 25 :
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47
53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 – 97

Pour savoir si un nombre est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… dans l'ordre. On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier essayé dépasse le nombre (outil dans l'onglet Méthode).

La décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété

Tout nombre entier n supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Écrite sous la forme

n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}

, cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près) : c'est la décomposition en produit de facteurs premiers de n.

Exemple : 700 = 7 × 100 = 7 × 4 × 25 = 7 × 2 × 2 × 5 × 5 = $2^{2} \times 5^{2} \times 7$ . Les facteurs premiers de 700 sont 2, 5 et 7.

Remarque : en général, on écrit les facteurs premiers dans l'ordre croissant.

Méthode

Pour décomposer un nombre, on le divise progressivement par des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…), en recommençant avec chaque quotient, jusqu'à obtenir 1.

Exemple 1 : décomposer 4 862.

4 862 = 2 × 2 4314 862 est pair.

4 862 = 2 × 11 × 2212 431 n'est divisible ni par 3, ni par 5, ni par 7, mais 2 431 = 11 × 221.

4 862 = 2 × 11 × 13 × 17221 = 13 × 17, et 13 et 17 sont premiers : on s'arrête.

Exemple 2 : 1 260 « en échelle »

1 260	2
630	2
315	3
105	3
35	5
7	7
1

1 260 = $2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7$

Rendre une fraction irréductible

Définition

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.

Exemples :

$\frac{14}{21}$ n'est pas irréductible : $\frac{14}{21} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{2}{3}$ . En revanche, $\frac{8}{15}$ est irréductible (8 = 2³ et 15 = 3 × 5 n'ont aucun facteur commun).

Méthode

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie par tous les facteurs communs. Quand il n'en reste plus, la fraction est irréductible.

Exemple : rendre irréductible $\frac{210}{1 386}$ .

210 = 2 × 3 × 5 × 7 et 1 386 = 2 × 3 × 3 × 7 × 11On décompose le numérateur et le dénominateur.

\frac{210}{1 386} = \frac{2 \times 3 \times 5 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 11}

On simplifie par les facteurs communs 2, 3 et 7.

\frac{210}{1 386} = \frac{5}{3 \times 11} = \frac{5}{33}

Plus de facteur commun : la fraction est irréductible.

draw Méthode

Dans l'application, cette méthode est animée étape par étape (règle, équerre, compas, rapporteur).

Méthode 1 : un nombre est-il premier ?

221 ÷ 2reste 1

221 ÷ 3reste 2

221 ÷ 5reste 1

221 ÷ 7reste 4

221 ÷ 11reste 1

221 ÷ 13= 17 tombe juste

221 n'est pas premier : 221 = 13 × 17.

Méthode 2 : décomposer un nombre, étape par étape

3 780

On cherche le plus petit nombre premier qui divise 3 780.

Méthode 3 : rendre une fraction irréductible

462 = 2 × 3 × 7 × 11 et 1 155 = 3 × 5 × 7 × 11

Facteurs communs : 3, 7, 11.

\frac{462}{1 155} = \frac{2 \times 3 \times 7 \times 11}{3 \times 5 \times 7 \times 11} = \frac{2}{5}

Méthode 4 : un problème de partage

Le nombre de bouquets doit diviser 126 et 90.

Toutes les fleurs sont utilisées et les bouquets sont identiques : chaque bouquet a autant de roses, et autant de tulipes.

edit Exercices et rédaction

Rédaction type : « Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers »

2 772 = 2 × 1 3861. On divise par le plus petit nombre premier possible (ici 2 : le nombre est pair).

2 772 = 2 × 2 × 6932. On recommence avec le quotient.

2 772 = 2 × 2 × 3 × 3 × 773. 6 + 9 + 3 = 18 : divisible par 3, deux fois (693 = 3 × 231 = 3 × 3 × 77).

2 772 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 114. 77 = 7 × 11 : tous les facteurs sont premiers.

2 772 =

2^{2} \times 3^{2} \times 7 \times 11

5. On regroupe avec des puissances, facteurs dans l'ordre croissant.

Exercices

Exercice 1

On sait que 3 233 = 53 × 61. Complète : 3 233 est … par 61 ; 53 est un … de 3 233 ; 3 233 est un … de 53. Le nombre 3 233 est-il premier ?

Exercice 2

On considère le nombre 42▢6, où ▢ est un chiffre inconnu. Quelles valeurs peut prendre ▢ pour que ce nombre soit divisible par 9 ? par 4 ?

Exercice 3

Donne la liste de tous les diviseurs de 90.

Exercice 4

Les nombres 187 ; 191 ; 221 et 391 sont-ils premiers ? Justifie.

Exercice 5

Décompose en produit de facteurs premiers : 540 ; 2 940 ; 1 547.

Exercice 6

Rends irréductible la fraction

\frac{462}{1 155}

Exercice 7

Un collège organise une sortie avec 168 élèves de 4e et 120 élèves de 3e. On veut former des groupes, tous avec le même nombre d'élèves de 4e et le même nombre d'élèves de 3e, en répartissant tous les élèves. Quel est le plus grand nombre de groupes possible ? Combien d'élèves de chaque niveau par groupe ?

Exercice 8

Vrai ou faux ? Justifie. a) Le produit de deux nombres premiers est un nombre premier. b) Un nombre divisible par 2 et par 3 est divisible par 6. c) Un nombre divisible par 4 et par 6 est divisible par 24.

history_edu Un peu d'histoire

En 1742, le mathématicien Christian Goldbach écrit à Leonhard Euler : il lui semble que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers (4 = 2 + 2, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 100 = 3 + 97…). Les ordinateurs l'ont vérifié pour des milliards de milliards de nombres, mais personne n'a jamais réussi à le démontrer : c'est l'une des plus célèbres énigmes non résolues des mathématiques ! Autre chasse aux trésors : au 17e siècle, le moine Marin Mersenne étudie les nombres de la forme 2ⁿ − 1 (3, 7, 31, 127…), dont beaucoup sont premiers. C'est parmi eux qu'on trouve les records : en octobre 2024, le plus grand nombre premier connu, 2^{136 279 841} − 1, comptait plus de 41 millions de chiffres.

Pour s'entraîner : quiz générés à chaque essai, figures manipulables et constructions animées.

Faire le quiz